基于蒙特卡罗算法的N皇后问题

社区文章发布于 2025年1月11日

普里蒂夫·萨克蒂

prithivMLmods

N皇后问题是一个经典的组合优化问题。目标是在一个**N × N的棋盘**上放置**N个皇后**，使得任意两个皇后都不能互相攻击。这意味着：

任意两个皇后不能在同一行。
任意两个皇后不能在同一列。
任意两个皇后不能在同一对角线。

蒙特卡罗算法通过生成随机解并迭代改进它们，为解决该问题提供了一种概率方法。

N皇后问题的蒙特卡罗算法

初始化变量
- n：皇后的数量（也是棋盘的大小）。
- max_trials：蒙特卡罗模拟的最大迭代次数。
- best_solution：一个空列表，用于存储目前找到的最佳棋盘配置。
- min_conflicts：设置为一个高值（例如，n * n）。
对于从1到max_trials的每次试验
a. 生成一个随机的初始棋盘配置
- 在每一列随机放置一个皇后。
- 将棋盘存储为一个列表board，其中索引表示列，该索引处的值表示该列中皇后的行位置。
b. 计算初始棋盘的冲突数
- 计算冲突皇后对的数量（相互攻击的皇后）。
c. 如果无冲突（conflicts == 0）
- 返回当前棋盘配置作为解决方案。
迭代减少冲突
- 当未超出max_steps时
  a. 选择冲突数最高的一列。
  b. 为所选列找到一个新行，以最小化冲突。
  c. 更新棋盘配置并重新计算冲突。
  d. 如果冲突数 == 0，则返回棋盘作为解决方案。
如果当前棋盘的冲突数少于min_conflicts，则更新best_solution。
如果在max_trials后未找到解决方案，则返回best_solution。

基于N皇后问题的蒙特卡罗算法步骤

步骤1：初始化

选择N： 选择棋盘的大小（N）。
生成初始随机配置
- 在每行随机放置一个皇后。
- 确保每行恰好有一个皇后，以简化问题，但允许列和对角线上的冲突。

步骤2：评估目标函数

计算冲突
- 对于每个皇后，计算同一列和对角线上的其他皇后数量。
- 总冲突数是所有这些计数的总和。
检查解决方案
- 如果总冲突数为零，则找到了有效解决方案，算法终止。

步骤3：迭代改进

扰动配置
- 随机选择一个皇后。
- 将其移动到同一行中的另一列。
- 每次移动后，重新评估总冲突数。
接受或拒绝新配置
- 如果新配置的冲突较少，则接受该移动。
- 如果新配置的冲突较多，则以小概率接受它，以避免陷入局部最小值（这受到模拟退火的启发）。

步骤4：重复直至收敛

继续生成新配置并评估冲突，直到：
- 找到零冲突的解决方案。
- 达到最大迭代次数（如果未找到解决方案）。

关键概念解释

随机初始化

算法从皇后的完全随机放置开始。这确保了算法探索搜索空间的很大一部分。

冲突评估

通过计算有多少皇后相互攻击来评估冲突。如果两个皇后符合以下条件，则它们相互攻击：

它们在同一列。
它们在同一对角线上（行和列索引的差值相同）。

概率接受

蒙特卡罗算法依赖于随机性和概率。即使移动会增加冲突数，也可能以小概率接受该移动。这可以防止算法陷入局部最优。

终止条件

当满足以下任一条件时，算法终止：

找到有效解决方案（零冲突）。
达到预设的迭代次数，表明算法可能无法在合理时间内找到解决方案。

伪代码

function MonteCarlo_NQueens(N):
    board = generate_random_board(N)
    iterations = 0
    max_iterations = 10000

    while iterations < max_iterations:
        conflicts = evaluate_conflicts(board)
        if conflicts == 0:
            return board  # Solution found
        
        row = random_row()
        new_column = random_column()
        move_queen(board, row, new_column)
        iterations += 1

    return None  # No solution found within the maximum iterations