量化

量化是一种通过使用低精度数据类型（如8位整数 int8）代替通常的32位浮点数（float32）来表示权重和激活值，从而降低运行推理的计算和内存成本的技术。

减少比特数意味着最终的模型需要更少的内存存储，消耗更少的能源（理论上），并且像矩阵乘法这样的操作可以用整数算术更快地执行。它还允许在嵌入式设备上运行模型，这些设备有时只支持整数数据类型。

理论

量化背后的基本思想很简单：将权重和激活值从高精度表示（通常是常规的32位浮点数）转换为较低精度的数据类型。最常见的低精度数据类型是

• float16，累积数据类型为 float16
• bfloat16，累积数据类型为 float32
• int16，累积数据类型为 int32
• int8，累积数据类型为 int32

累积数据类型指定了对该数据类型的值进行累积（加法、乘法等）操作后结果的类型。例如，让我们考虑两个 int8 值 A = 127 和 B = 127，并定义 C 为 A 和 B 的和

C = A + B

这里的结果远大于 int8 中可表示的最大值 127。因此需要一个更高精度的数据类型来避免巨大的精度损失，否则整个量化过程将变得毫无用处。

量化

两种最常见的量化情况是 float32 -> float16 和 float32 -> int8。

量化到 float16

从 float32 量化到 float16 的过程非常直接，因为这两种数据类型遵循相同的表示方案。在将操作量化到 float16 时，你需要问自己以下问题：

• 我的操作是否有 float16 的实现？
• 我的硬件是否支持 float16？例如，英特尔 CPU 一直支持 float16 作为存储类型，但计算是在转换为 float32 后完成的。完全支持将在 Cooper Lake 和 Sapphire Rapids 中实现。
• 我的操作对较低精度敏感吗？例如，LayerNorm 中 epsilon 的值通常非常小（~ 1e-12），但 float16 中可表示的最小正值约为 6e-5，这可能导致 NaN 问题。同样的问题也适用于非常大的值。

量化到 int8

从 float32 量化到 int8 更加棘手。int8 只能表示256个值，而 float32 可以表示非常广泛的值。其思想是找到最佳的方式将我们的 float32 值范围 [a, b] 映射到 int8 空间。

让我们考虑一个在 [a, b] 范围内的浮点数 x，那么我们可以写出以下量化方案，也称为仿射量化方案

x = S * (x_q - Z)

其中

• x_q 是与 x 关联的量化后 int8 值
• S 和 Z 是量化参数
  • S 是缩放因子，是一个正的 float32 值
  • Z 称为零点，它是在 float32 领域中对应于值 0 的 int8 值。这对于能够精确表示值 0 非常重要，因为它在机器学习模型中无处不在。

在 [a, b] 范围内的 x 的量化值 x_q 可以计算如下

x_q = round(x/S + Z)

而在 [a, b] 范围之外的 float32 值会被裁剪到最接近的可表示值，所以对于任何浮点数 x

x_q = clip(round(x/S + Z), round(a/S + Z), round(b/S + Z))

对称和仿射量化方案

上面的方程被称为仿射量化方案，因为从 [a, b] 到 int8 的映射是仿射的。

这个方案的一个常见特例是对称量化方案，我们考虑一个对称的浮点值范围 [-a, a]。在这种情况下，整数空间通常是 [-127, 127]，这意味着 -128 被从常规的 [-128, 127] 有符号 int8 范围中排除了。原因是拥有对称范围可以使 Z = 0。虽然在256个可表示的值中损失了一个，但这可以提供加速，因为可以跳过许多加法操作。

注意：要了解量化参数 S 和 Z 是如何计算的，您可以阅读 《为高效的纯整数算术推理而进行的神经网络量化与训练》 论文，或 Lei Mao关于该主题的博客文章。

逐张量和逐通道量化

根据您所追求的精度/延迟权衡，您可以调整量化参数的粒度。

• 量化参数可以按逐张量计算，这意味着每个张量将使用一对 (S, Z)。
• 量化参数可以按逐通道计算，这意味着可以为张量的某个维度上的每个元素存储一对 (S, Z)。例如，对于一个形状为 [N, C, H, W] 的张量，为第二个维度设置逐通道量化参数将导致有 C 对 (S, Z)。虽然这可以提供更好的精度，但需要更多内存。

校准

上一节描述了从 float32 到 int8 的量化过程，但还有一个问题：float32 值的 [a, b] 范围是如何确定的？这就是校准发挥作用的地方。

校准是量化过程中计算 float32 范围的步骤。对于权重来说，这很简单，因为实际范围在量化时是已知的。但对于激活值来说，情况就不那么明朗了，存在不同的方法：

1. 训练后动态量化：每个激活值的范围在运行时动态计算。虽然这种方法无需太多工作就能获得很好的结果，但由于每次计算范围会引入开销，因此可能比静态量化稍慢。在某些硬件上，它也不是一个可行的选项。
2. 训练后静态量化：每个激活值的范围在量化时预先计算好，通常是通过将代表性数据通过模型并记录激活值来实现。实践中的步骤是：
   1. 在激活值上放置观察器以记录其值。
   2. 在校准数据集上进行一定数量的前向传播（大约 200 个样本就足够了）。
   3. 根据某种校准技术计算每个计算的范围。
3. 量化感知训练：每个激活值的范围在训练时计算，其思想与训练后静态量化相同。但使用“伪量化”算子代替观察器：它们像观察器一样记录值，但同时也模拟量化引起的误差，让模型适应它。

对于训练后静态量化和量化感知训练，都需要定义校准技术，最常见的有：

• 最小值-最大值：计算的范围是 [观察到的最小值, 观察到的最大值]，这对于权重效果很好。
• 移动平均最小值-最大值：计算的范围是 [移动平均观察到的最小值, 移动平均观察到的最大值]，这对于激活值效果很好。
• 直方图：记录值的直方图以及最小值和最大值，然后根据某个标准进行选择。
  • 熵：计算的范围是使全精度数据和量化数据之间误差最小的范围。
  • 均方误差：计算的范围是使全精度数据和量化数据之间均方误差最小的范围。
  • 百分位数：使用给定的百分位值 p 对观察值计算范围。其思想是尝试使 p% 的观察值在计算的范围内。虽然在进行仿射量化时这是可能的，但在进行对称量化时并不总能精确匹配。您可以查看 ONNX Runtime 中的实现方式 以了解更多细节。

将模型量化到 int8 的实际步骤

为了有效地将模型量化到 int8，需要遵循以下步骤：

1. 选择要量化的算子。适合量化的算子是那些在计算时间上占主导地位的，例如线性投影和矩阵乘法。
2. 尝试训练后动态量化，如果速度足够快，则到此为止，否则继续第3步。
3. 尝试训练后静态量化，这可能比动态量化更快，但通常会降低精度。在您想要量化的地方为模型应用观察器。
4. 选择一种校准技术并执行。
5. 将模型转换为其量化形式：移除观察器，并将 float32 算子转换为其 int8 对应物。
6. 评估量化后的模型：精度是否足够好？如果是，则到此为止，否则从第3步重新开始，但这次使用量化感知训练。

在 🤗 Optimum 中执行量化支持的工具

🤗 Optimum 提供了 API，可以使用不同的工具针对不同的目标执行量化：

• optimum.onnxruntime 包允许使用 ONNX Runtime 工具量化和运行 ONNX 模型。
• optimum.intel 包能够量化 🤗 Transformers 模型，同时满足精度和延迟约束。
• optimum.fx 包提供了对 PyTorch 量化函数 的封装，以允许在 PyTorch 中对 🤗 Transformers 模型进行图模式量化。与上述两种相比，这是一个更低级的 API，提供了更大的灵活性，但需要您做更多的工作。
• optimum.gptq 包允许使用 GPTQ 量化和运行 LLM 模型。

更进一步：机器如何表示数字？

计算机最基本的表示单位是比特。计算机中的一切都表示为比特序列，包括数字。但根据所讨论的数字是整数还是实数，其表示方式有所不同。

整数表示

整数通常用以下比特长度表示：8、16、32、64。在表示整数时，考虑两种情况：

1. 无符号（正）整数：它们简单地表示为比特序列。每个比特对应于2的幂（从 0到 n-1，其中 n 是比特长度），最终的数字是这些2的幂的和。

例如：19 表示为一个无符号的 int8 是 00010011，因为

19 = 0 x 2^7 + 0 x 2^6 + 0 x 2^5 + 1 x 2^4 + 0 x 2^3 + 0 x 2^2 + 1 x 2^1 + 1 x 2^0

2. 有符号整数：表示有符号整数不那么直接，存在多种方法，最常见的是二进制补码。更多信息，您可以查看关于该主题的 维基百科页面。

实数表示

实数通常用以下比特长度表示：16、32、64。表示实数的两种主要方式是

1. 定点数：保留固定数量的数字来表示整数部分和小数部分。
2. 浮点数：用于表示整数部分和小数部分的数字数量可以变化。

浮点表示法可以表示更大范围的值，这是我们将重点关注的，因为它最常用。浮点表示法有三个组成部分

1. 符号位：这是指定数字符号的比特。
2. 指数部分

• float16 中有 5 比特
• bfloat16 中有 8 比特
• float32 中有 8 比特
• float64 中有 11 比特

2. 尾数部分

• float16 中有 11 比特（10 个显式存储）
• bfloat16 中有 8 比特（7 个显式存储）
• float32 中有 24 比特（23 个显式存储）
• float64 中有 53 比特（52 个显式存储）

有关每种数据类型的比特分配的更多信息，请查看维基百科上关于 bfloat16 浮点格式 的精美插图。

对于一个实数 x，我们有

x = sign x mantissa x (2^exponent)

参考文献

• 论文 Quantization and Training of Neural Networks for Efficient Integer-Arithmetic-Only Inference
• 博客文章 Basics of Quantization in Machine Learning (ML) for Beginners
• 博客文章 How to accelerate and compress neural networks with quantization
• 维基百科关于整数表示的页面在此和在此
• 维基百科页面关于
  • bfloat16 浮点格式
  • 半精度浮点格式
  • 单精度浮点格式
  • 双精度浮点格式